Innehåll
Vår moderna förståelse av kardinalitet kommer från Georg Cantors arbete på 1890-talet. Satser kan ha tre typer kardinal: ändliga, countable och uncountable. Slutliga uppsättningar kan ha ett visst nummer tilldelat, till exempel deras kardinalitet: antalet objekt i uppsättningen. Både talbara och otaliga uppsättningar är oändliga. Cantor var den första matematiker som påpekade att karaktäristiken hos en oändlig uppsättning är att den kan sättas in i en en-till-en korrespondens med sin egen delmängd av sig själv.
vägbeskrivning
-
Ge ett specifikt tal för en uppsättning kardinalitet om den är ändlig. För dessa uppsättningar är kardinalitet antalet föremål inom den. För oändligheten är det omöjligt att ange ett specifikt tal för kardinalitet - vi kan bara använda ett beskrivande ord. En delmängd av en uppsättning är en som innehåller några - men inte alla - av de uppsatta numren, men ingen som inte finns inom den. Till exempel är en delmängd bokstäver i portugisiska alfabetet bokstäverna i ordet "banan". För ändliga uppsättningar är de korrekta delarna mindre än uppsättningen. Vilket är inte sant för oändliga uppsättningar.
-
Börja med ett visst element i uppsättningen och behåll för alltid, på ett visst sätt, att räkna upp alla element i en uppsättning. Detta är definitionen av redovisning av en oändlig uppsättning. Nyckelfunktionen är att det finns en algoritm för att lista alla element för evigt. Den arketypiska talbara oändliga uppsättningen är den för heltal. Börja med "one" och fortsätt med nästa sekventiellt nummer. Du kan inte ge ett kardinalnummer, du kommer bara att säga att det är evigt. Observera att för varje heltal finns ett motsvarande jämnt tal som blir dubbelt så stort. Det finns så många heltal som det finns jämntal. Det finns en en-till-en match mellan uppsättningen och en riktig delmängd av den uppsättningen.
-
Jämför en uppsättning med siffrorna mellan noll och en, för att se om det är otaligt oändligt. Du kan inte börja räkna dem eftersom det inte finns något "nästa" nummer efter ett tal mellan noll och en. Cantor gav ett exempel för att hjälpa till med den intuitiva förståelsen av otaliga uppsättningar: poäng och linjer. Poängen är inte lång eller bred, även om en rad består av poäng. Om linjerna är oändliga punkter, skulle linjelängden vara 0 + 0 + 0 och så vidare, för alltid. Linjerna måste ha ett otalbart antal punkter.
tips
- Cantor-testet är att se om två uppsättningar har samma kardinalitet, om elementen i uppsättningen kan matchas en efter en med den andra.
varning
- Aritmetik fungerar endast för ändliga uppsättningar. Om N båda är beräknade och oändlig oändlighet, N + 1 = 200N = N + N = N.