Innehåll
En skalentriangel med vinklarna vid 30, 60 och 90 grader är per definition en triangel, eftersom en av vinklarna har 90 grader, dvs det är en rät vinkel. Sådana trianglar är mycket vanliga i trigonometriska instruktioner, så det är intressant att veta både längden på sidorna av denna typ av triangel och hur det kan härledas.
vägbeskrivning
-
Orientera skaleten triangeln så att den medelstora sidan är horisontell underifrån och den mindre sidan är från höger. Då kommer 30 graders vinkel till vänster och 60 graders vinkel mot toppen. Hitta hypotenusens längd med bokstaven H.
-
Bestäm längden på den kortare sidan genom att dividera H med 2. Bestäm längden på bottensidan genom att multiplicera H med √3 / 2. Alternativt, hitta längden på undersidan genom att multiplicera den kortare sidan med √3, vilket kan vara lättare att komma ihåg än √3 / 2-numret.
-
Bestäm H om någon av de andra sidorna återfinns genom att multiplicera den kortare sidan med 2 eller genom att multiplicera medellängdsidan med 2 / √3. Självklart, om du redan känner till två sidor, kan du använda den pythagoranska stämningen för att hitta den tredje, eftersom den är en rätt triangel.
-
Avleda varifrån de föregående siffrorna kom enligt följande: Placera två trianglar 30-60-90 grader i samma storlek sida vid sida med median längden tappa i mitten och de kortare sidorna bildar en rak linje till botten. Observera att dessa två trianglar nu bildar en triangel med alla vinklar lika med 60 grader. Triangeln är nu jämnsidig. Eftersom alla vinklar är lika är längderna samma. Därför är de tre sidorna av längd H. Observera specifikt att undersidan är av längd H. Eftersom undersidan är sammansatt av två kortare sidor är den kortare sidan av en triangel av vinklar 30-60-90 H / 2. Med den pythagoranska stolen måste mediansidan vara H√3 / 2.
tips
- Sidorna av en skalentriangel med längden av hypotenus i 1 visas ofta i trigonometriövningar. Om du placerar triangeln i en cirkel så att den kortare sidan berör den positiva x-axeln och hypotenusen av längd 1 sträcker sig från ursprung till cirkel, har skärningspunkten i cirkeln en x-koordinat på 1/2 ey √3 / 2. Dessa är sinus och cosinus på 30 grader. Om triangeln är på så sätt att medellängden ligger på den positiva x-axeln, har skärpunkten i cirkeln en x-koordinat av √3 / 2 och y av 1/2. Det sägs då att 60 graders cosinus är 1/2 och 60 graders sinus är √3 / 2. Med en liknande resonemang är sinus och cosinus av 45 grader båda √2 / 2 = 1 / √2 eftersom en vinkel av 45-45-90 med hypotenusen har sidor i längden 1 / √2. Observera att när du går från 30 till 45 till 60 grader minskar cosinusen från √3 / 2 till √2 / 2 till √1 / 2 (= 1/2) och sinusen ökar från √1 / 2 till √2 / 2 till √3 / 2. Detta mönster genererar en intressant mnemonic för de tal som diskuteras i steg 1, 2 och 3.
varning
- Förväxla inte triangeln som diskuteras ovan med en rak triangel på sidorna 3-4-5, som har ett enkelt sida-till-sida-förhållande men har inte samma vinklar som 30-60-90 grader triangeln.