Innehåll
Om du var tvungen att göra en fyrkant och rita två diagonala linjer, skulle de korsas i mitten av den och bilda fyra högra trianglar; de två linjerna skär varandra i en 90 graders vinkel. Det är möjligt att intuitivt upptäcka att dessa två diagonaler i en kub, som var och en går från ett hörn till ett annat och korsar i mitten, också kan korsas i rät vinkel; men det skulle vara ett misstag. Att bestämma vinkeln i vilken de två diagonalerna skär varandra är något mer komplicerat än vad det ser ut först, men det är bra praxis att förstå principerna för geometri och trigonometri.
Steg 1
Definiera längden på en kant som en enhet. Per definition har varje kant på kuben en längd som är lika med fukt.
Steg 2
Använd Pythagoras sats för att bestämma längden på diagonalen som går från ett hörn till det andra på samma sida, som kan kallas "mindre diagonal", för tydlighetens skull. Varje sida av den bildade högra triangeln är en enhet, så diagonalen måste vara lika med √2.
Steg 3
Använd Pythagoras sats för att bestämma längden på en diagonal som går från ett hörn till ett annat, på andra sidan av kuben, som kan kallas "major diagonal". Du kommer att ha en rätt triangel på ena sidan motsvarande en enhet och en sida lika med den "mindre diagonalen", vilket motsvarar kvadratroten av två enheter. Hypotenusens kvadrat är lika med summan av sidornas kvadrat, så hypotenusen måste vara √3. Varje diagonal som löper från ett hörn till ett på andra sidan av kuben är lika med √3 enheter.
Steg 4
Rita en rektangel som representerar två större diagonaler över kubens centrum och tänk på att vinkeln på deras skärningspunkt måste hittas. Denna rektangel måste vara 1 enhet hög och √2 enheter bred. De större diagonalerna skär varandra i mitten av denna rektangel och bildar två olika typer av trianglar. En av dem kommer att ha en sida lika med 1 enhet och de andra två lika √3 / 2 (halva längden på en större diagonal). Den andra kommer att ha två sidor lika med √3 / 2, men din första kommer att vara √2. Du behöver bara analysera en av trianglarna, välja den första och upptäcka den okända vinkeln.
Steg 5
Använd den trigonometriska formeln "c² = a² + b² - 2ab x cos C" för att hitta den okända vinkeln för denna triangel. "C = 1" och "b" och "a" är lika med √3 / 2. Att sätta dessa värden i ekvationen, finner vi att vinkeln cosinus är 1/3. Det inversa av cosinus 1/3 motsvarar en vinkel på 70,5 grader.